“
动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。
”
——亞里士多德，物理學 VI:9, 239b15
常見的敘述為芝诺提出的追著烏龜的阿基里斯，本悖論因此得其名。芝诺提出让乌龟和阿基里斯赛跑，兩者起點不同，乌龟的起點位於阿基里斯身前1000米处，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然領先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然領先他1米。芝诺认为，阿基里斯永遠無法追上烏龜[2]。
如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。[來源請求]然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999...，但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。
悖論的解決
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如果將阿基里斯跑步的速度為每秒10m，烏龜爬行的速度為每秒0.1m，
並且在比賽之前，阿基里斯讓烏龜先爬999m，在這種條件下，阿基里斯追趕烏龜所用的時間為：
999 ÷ 10 = 99.9秒
(99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
(0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
· · · · · ·
這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列：
99.9, 0.999, 0.00999, · · ·
求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒
因此阿基里斯只要跑101秒，即可超越烏龜。
換個角度說，阿基里斯之所以追不上烏龜，原因在於小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的時間(距離)。
因此會得到無限的時間序列。
求極限值
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追乌龟亦涉及到极限是否存在的問題。譬如说，阿基里斯的速度改為10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後，總共所花的時間應表示為
t
=
0.9
+
0.09
+
0.009
+
.
.
.
=
0.999...
{\displaystyle t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...}
。
其一，關於极限這个无限过程的意義，涉及到实无限（英语：Actual infinity）與潜无限（potential infinity）的討論。潜无限的性質是无限过程无法完成，故上述級數雖然能无限逼近1，但不能說是等於1──故沒有一個時間點（若有，必須是1）能代表乌龟被追上的時間。在潜无限的框架下，可以假设空间無法无限分割，如此一來此悖论就不存在了。但实无限的理論是，无限过程可以完成，即逼近的過程與其极限等價，故阿基里斯可以追上烏龜。現在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。
其二，關於要如何找到該無限過程的極限，歐拉曾提出「
0.9999999999
⋯
=
1
{\displaystyle 0.9999999999\dots =1}
」之證明如下：
主条目：0.999…
令
S
=
0.99999999999
…
{\displaystyle S=0.99999999999\dots }
則
10
S
=
9.9999999999
…
{\displaystyle 10S=9.9999999999\dots }
兩式相減可得：
10
S
−
S
=
9.9999999999
⋯
−
0.99999999999
…
9
S
=
9
S
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}10S-S&=9.9999999999\dots -0.99999999999\dots \\9S&=9\\S&=1\end{aligned}}}
故
0.99999999999
⋯
=
1
{\displaystyle 0.99999999999\dots =1}